Page 20 - SCHOOLARIKI2019

ου
ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΟΥ 1 ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΥΚΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2019 ΤΕΥΧΟΣ 6

Οι μαθητές του σχολείου μας, Θωμάς Μπουλούσης (Β3) και Χρήστος
Παπαχρήστου (Β4), συμμετείχαν στο 1ο Μαθητικό Μαθηματικό Συνέδριο της Ελ-
ληνικής Μαθηματικής Εταιρείας στην Αθήνα τον Δεκέμβριο 2018. Παρουσίασαν
την εργασία Μουσική & Μαθηματικά που βασίστηκε σε πρωτότυπη μουσική σύν-
θεση για πιάνο του μαθητή Θωμά Μπουλούση. Την εργασία τους παρουσίασαν
και στην 11η Διεθνή Μαθηματική Εβδομάδα 2019, τον Απρίλιο 2019. Αξίζει να τη
διαβάσετε:

Εισαγωγή – τι είναι η ακολουθία Fibonacci
Η ακολουθία Fibonacci πήρε το όνομά της από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο
της Πίζας, γνωστό και ως Fibonacci, που έζησε από το 1175 έως το 1250 μ.Χ. περί-
που. Η ακολουθία πρωτοπαρουσιάστηκε το 1202 στο βιβλίο του με τίτλο «Liber
Abaci» με το οποίο την εισήγαγε στα μαθηματικά της δυτικής Ευρώπης.
Στην ακολουθία Fibonacci, κάθε αριθμός είναι πάντοτε το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Η ακολουθία ορίζε-
ται από τον εξής τύπο: Fn=Fn-1 + Fn-2, με ‘n’ τη σειρά του αριθμού στην ακολουθία. Οι δύο πρώτοι αριθμοί στην
ακολουθία Fibonacci είναι είτε 1 και 1, είτε 0 και 1, ανάλογα με το επιλεγμένο σημείο εκκίνησης της ακολουθίας,
και κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των προηγούμενων δύο.

Επίσης, η ακολουθία μπορεί να επεκταθεί και στους αρνητικούς αριθμούς. Στην ακολουθία Fibonacci οι πρώτοι 22
αριθμοί είναι οι εξής:

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20 F21 F22
144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711

Οι αριθμοί Fibonacci εμφανίζονται αρκετά συχνά στα χικούς αριθμούς της ακολουθίας (κάθε αριθμός προς
μαθηματικά και έχουν εφαρμογές σε πολλές επιστή- τον προηγούμενό του) θα βρούμε τον αριθμό «φ».
μες. Είναι, όμως, αξιοσημείωτο το πόσο συχνά συνα-
ντώνται στη φύση, όπως στη διάταξη των φύλλων στα Διαδικασία σύνθεσης μουσικής χρησιμοποιώντας την
φυτά, στο μοτίβο των πετάλων στα λουλούδια, στα ακολουθία Fibonacci
στρώματα του φλοιού ενός ανανά, στο μοτίβο μιας Οι αριθμοί της ακολουθίας Fibonacci έχουν εφαρμογή
κυψέλης μελισσών ή ακόμη και ενός κυττάρου. στις βασικές πτυχές της κλασικής μουσικής, όπως στις
μουσικές κλίμακες. Οι μουσικές κλίμακες της κλασικής
Η Χρυσή Τομή μουσικής αποτελούνται από 8 βαθμίδες (F6 της ακο-
Δύο ποσότητες έχουν αναλογία χρυσής τομής, όταν ο λουθίας Fibonacci), ενώ σε κάθε ολοκληρωμένη μου-
λόγος του αθροίσματος τους προς τη μεγαλύτερη πο- σική κλίμακα (οκτάβα) υπάρχουν συνολικά 13 νότες
σότητα είναι ίσος με τον λόγο της μεγαλύτερης ποσό- (F7 της ακολουθίας Fibonacci). Η 3η και η 5η βαθμίδα
τητας προς τη μικρότερη. Η χρυσή τομή αναφέρεται πάνω από κάθε νότα της μουσικής κλίμακας δημιουρ-
επίσης και ως χρυσός λόγος, θεϊκή αναλογία ή απλά γούν τις συγχορδίες και τα αρπίσματα της κλασικής
«φ», προς τιμήν του αρχαίου γλύπτη Φειδία, ενώ για μουσικής (F4 και F5 της ακολουθίας Fibonacci).
τους αρχαίους Έλληνες αποτελούσε το «δόγμα της Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να συνθέσει κανείς μουσι-
ωραιότητας». Ο υπολογισμός της χρυσής τομής βασί- κή με την ακολουθία Fibonacci. Ο τρόπος που χρησι-
ζεται στην αναλογία 8:13 και στη χρήση του αριθμού
μοποιήθηκε στη δική μας περίπτωση είναι ο εξής:
φ=1,618. Η χρυσή τομή χρησιμοποιείται για την άρτια
δόμηση μιας σύνθεσης και εφαρμόστηκε από καλλιτέ- Επιλέξαμε τη Λα μείζονα κλίμακα ως τονικότητα της
σύνθεσης. Η νότα Λα επιλέχθηκε επειδή η διεθνής
χνες, όπως ο Λεονάρντο ντα Βίντσι και ο Μιχαήλ Άγγε-
λος, και μαθηματικούς, όπως ο Ευκλείδης και ο ονομασία της είναι το γράμμα «Α», η αρχή του αλφά-
βητου, και χρησιμοποιείται ως η βασική νότα στο
Fibonacci. Η ακολουθία Fibonacci προσεγγίζει τη χρυ-
σή τομή. Αν διαιρέσουμε δύο οποιουσδήποτε διαδο- κούρδισμα της ορχήστρας. Επίσης, η νότα Λα είναι η
χαμηλότερη νότα στο πιάνο.

20